群与环的概念


群(Group)

群的定义

群是一个集合 $G$ 加上在 $G$ 中定义的一个二元运算 $\circ$,$\circ$ 满足下面条件:

  1. 封闭性(Closure):对于任意的 $a,b \in G$,$a \circ b \in G$ ;
  2. 结合律(Associativity):对于任意的 $a,b,c \in G$,有 $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$;
  3. 单位元(Identity element):在 $G$ 中存在一个元素 $e$,它对 $G$ 中的任意元素 $g$,有 $e \circ g = g \circ e = g$;
  4. 逆元(Inverse element):对 $G$ 中任意元素 $g$ 都存在 $G$ 中的一个 $g’$ 使 $g \circ g’ = g’ \circ g = e$。

单位元 $e$ 和每个 $g$ 对应的逆元 $g^{-1}$ 都是唯一的。

其它一些概念

  1. 假如一个群的元素个数是一个有限整数,称这个群为有限群,否则称这个群为无限群。一个有限群 $G$ 的元素的个数叫做这个群的阶,记为 $|G|$。
  2. 交换群:也称为Abel群,对于任意的 $a,b \in G$ 都有 $a \circ b = b \circ a$,即满足交换律的群。
  3. 半群:仅满足群定义中封闭性与结合律。
  4. 幺半群:仅满足群定义中封闭性与结合律与单位元。

循环群

循环群 $G$ 中的每一个元素都是某一固定元素 $a$ 的方幂,即 $G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}$。我们也称 $G$ 是由元素 $a$ 生成的,记为 $G=(a)$,$a$ 称为 $G$ 的一个生成元素。

例子1:$G = (\mathbb{Z}, +)$ 是一个循环群,因为 $G = (1)$。

例子2:设 $p$ 是一个素数,则模 $p$ 的简化剩余系 $(\mathbb{Z}^*_p, \times)$ 构成一个循环群。模 $p$ 的原根 $g$ 为这个群的一个生成元素。

群同态与群同构

设 $(G,\cdot), (H,\times)$ 是两个群,如果存在 $G$ 到 $H$ 的一个映射 $f : G \mapsto H$,使得

对一切 $a,b \in G$ 均成立,那么就说 $f$ 是 $G$ 到 $H$ 的一个同态映射。如果 $f$ 是 $G$ 到 $H$ 的满射,那么就说 $f$ 是满同态,用符号 $G \sim H$ 表示,称 $H$ 为 $f$ 下的同态象。如果 $G$ 到 $H$ 的同态映射 $f$ 是单射,那么就说 $f$ 是 $G$ 到 $H$ 的单一同态。如果这个 $f$ 是 $G$ 到 $H$ 的一一映射,那么就说 $f$ 是 $G$ 到 $H$ 的一个同构映射,此时称这两个群同构,记为 $G \cong H$。

假定 $G$ 是一个由元 $a$ 所生成的循环群。当 $a$ 的阶无限时,那么 $G$ 与整数加群同构;若 $a$ 的阶是一个有限整数 $n$,那么 $G$ 与模 $n$ 的剩余类加群同构。

环(Ring)

环的定义

设 $R$ 是一个非空集合,其上定义两个运算:加法 $(+)$ 和乘法 $(\cdot)$,$(R,+,\cdot)$ 构成一个环,如果这些运算满足

  1. $(R, +)$ 是一个交换群,其单位元称为零元,记为 $0$。即:
    • $(R,+)$ 是封闭的;
    • $(a+b) = (b+a)$;
    • $(a+b)+c=a+(b+c)$
    • $0+a = a+0 = a$;
    • $\forall a \ \exists(-a)$ 满足 $a+-a = -a + a=0$。
  2. $(R, \cdot)$ 形成一个半群,即:
    • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$;
    • $(R, \cdot)$ 是封闭的。
  3. 乘法关于加法满足分配律:
    • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$;
    • $(a+b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$。

其中,乘法运算符 $\cdot$ 常被忽略,所以 $a \cdot b$ 可简写为 $ab$。此外,乘法是比加法优先的运算,所以 $a+bc$ 其实是 $a + (b \cdot c)$。

基本性质

考虑一个环 $R$,

  1. 如果 $a + b = a + c$,那么 $b = c$;
  2. 对于任意的 $a \in R$,都有 $0a = a0 = 0$,这里的 $0$ 为加群中的零元;
  3. 对于任意的 $a,b \in R$,都有 $(-a)b = -ab = a(-b)$。

最后定义 $a$ 的 $n$ 次方。环 $R$ 中,$a^n$ 表示

显然对于正整数 $n,m$ 有

环例子

  • 全体整数所成集合 $\mathbb{Z}$ 对于数的加法和乘法作成一个环,称为整数环。
  • 模 $n$ 剩余系对于模 $n$ 加法和模 $n$ 乘法成为一个环。